Geometria analítica no ENEM 2022
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser à escolhida para o ponto de conexão?
Ver gabarito e explicação
Gabarito: D
Para minimizar a distância percorrida de A até B passando por um ponto P na Rodovia 003 (eixo x), aplicamos o princípio da reflexão. As coordenadas das cidades são A(20, 40) e B(50, 20). Refletimos A em relação ao eixo x, obtendo A'(20, -40). A menor distância é alcançada quando P está sobre a reta que liga A' a B.
Pela semelhança de triângulos formados pela reta A'B e o eixo x, a razão entre as alturas (40 e 20) é igual à razão entre as bases horizontais ( e ). Montamos a equação . Resolvendo, temos , que simplifica para , resultando em . Isolando , obtemos , logo .
O valor km corresponde à localização IV no gráfico. A alternativa correta é a D.
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