Poliedros no ENEM PPL 2019
No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.
Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?
Ver gabarito e explicação
Gabarito: E
O poliedro apresentado é um paralelepípedo com uma cavidade retangular no topo. Contando os vértices (), temos os 8 cantos do bloco principal, mais 4 cantos na borda superior da cavidade e 4 cantos no fundo da cavidade, totalizando . As arestas () somam as 12 do bloco original, mais 4 na borda superior da cavidade, 4 no fundo da cavidade e 4 verticais internas, totalizando .
Para as faces (), consideramos a base (1), as 4 laterais externas, o topo (que forma um anel poligonal, contando como 1 face), as 4 laterais internas da cavidade e o fundo da cavidade (1), resultando em . O enunciado confirma que as faces internas (não vistas diretamente) são retangulares, enquanto a face do topo (anel) não o é.
Testando a relação entre esses valores, temos . Como , observamos que . Portanto, a relação correta é V + F = A + 3.
Alternativa E.
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