Fatoração no ENEM 2014

Gabarito: E

Para que $N=2^x\cdot 5^y\cdot 7^z$ seja múltiplo de 10, ele deve ser divisível por 2 e por 5, o que exige $x\ge 1$ e $y\ge 1$. Como $N$ não é múltiplo de 7, o fator $7^z$ deve ser igual a 1, logo $z=0$.

O número total de divisores de $N$ é dado pelo produto dos expoentes incrementados de 1: $(x+1)(y+1)(z+1)$. A questão pede o número de divisores diferentes de $N$, então subtraímos 1 (o próprio número) do total: $(x+1)(y+1)(z+1)-1$.

Como $z=0$, a expressão $(x+1)(y+1)(0+1)-1$ simplifica para $(x+1)(y+1)-1$. A alternativa que representa essa fórmula é a alternativa E.